Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 7 & 8 \\ \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{array}]$

Schritt 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Schritt 2

Find the determinant.

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Schritt 2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$7 (\frac{1}{3}) - \frac{2}{3} \cdot 8$

Schritt 2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Kombiniere $7$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{7}{3} - \frac{2}{3} \cdot 8$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere $- \frac{2}{3} \cdot 8$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$\frac{7}{3} - 8 (\frac{2}{3})$

Schritt 2.2.1.2.2

Kombiniere $- 8$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{7}{3} + \frac{- 8 \cdot 2}{3}$

Schritt 2.2.1.2.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $2$ .

$\frac{7}{3} + \frac{- 16}{3}$

Schritt 2.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{7}{3} - \frac{16}{3}$

Schritt 2.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7 - 16}{3}$

Schritt 2.2.3

Subtrahiere $16$ von $7$ .

$\frac{- 9}{3}$

Schritt 2.2.4

Dividiere $- 9$ durch $3$ .

$- 3$

Schritt 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Schritt 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 3} [\begin{array}{c} \frac{1}{3} & - 8 \\ - \frac{2}{3} & 7 \end{array}]$

Schritt 5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{3} [\begin{array}{c} \frac{1}{3} & - 8 \\ - \frac{2}{3} & 7 \end{array}]$

Schritt 6

Multipliziere $- \frac{1}{3}$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \cdot - 8 \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Schritt 7

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 7.1

Multipliziere $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 7.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3 \cdot 3} & - \frac{1}{3} \cdot - 8 \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} \cdot - 8 \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Schritt 7.2

Multipliziere $- \frac{1}{3} \cdot - 8$ .

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & 8 (\frac{1}{3}) \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Schritt 7.2.2

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{3}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Schritt 7.3

Multipliziere $- \frac{1}{3} (- \frac{2}{3})$ .

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ 1 (\frac{1}{3}) \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Schritt 7.3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{3 \cdot 3} & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Schritt 7.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{9} & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Schritt 7.4

Multipliziere $- \frac{1}{3} \cdot 7$ .

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{9} & - 7 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Schritt 7.4.2

Kombiniere $- 7$ und $\frac{1}{3}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{9} & \frac{- 7}{3} \end{array}]$

Schritt 7.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{9} & - \frac{7}{3} \end{array}]$